Program Maple Matematika: MAPLE DALAM MATEMATIKA

MAPLE UNTUL KALKULUS

1. Fungsi Komposisi

Syntak yang digunakan adalah (f@g)(x); .

f , g : sebarang fungsi

x : variable

Contoh:

[> f:=x^2+5;

[> g:=2*x^3+2*x;

[> (f@g)(x);

Perhatikan, hati-hati membedakan tanda perkalian x dengan variabel x.

2. Menggambar Grafik Fungsi.

a. Satu fungsi dalam satu sumbu koordinat XOY.

Syntak yang digunakan adalah plot( f(x) , x = a..b , y = c..d , color = warna , style= style);

f(x) : fungsi yang akan dibuat grafiknya.

x : variabel

a..b : range sumbu X

c..d : range sumbu Y *

color : warna grafik, dalam bahasa inggris *

style : style grafik, ada 3 macam, point (titik), line (garis), dan patch ( ). *

Bagian yang bertanda star ( * ) bersifat opsional, jadi boleh tidak ditambahkan. Bahkan adanya penambahan perintah range Y bisa mengakibatkan Maple tidak mengenali perintah tersebut. Inilah kelemahan Maple. Kelemahan Maple adalah tidak stabil dan manajemen memorinya kurang bagus, sehingga terkadang menghasilkan hasil komputasi yang salah atau bahkan tidak mampu menyelesaikannya.

Contoh:

1. Gambarlah grafik fungsi untuk pada interval [-2,3]

> plot(x^3+2,x=-2..3);

> plot(x^3+2,x=-2..3,y=-8..30,color=blue,style=point);

Apabila diinginkan untuk ditambahkan option pada perintah plot, maka berikut ini beberapa perintah option yang sering digunakan.

1. Color = warna.

Perintah ini digunakan untuk memberi warna grafik. Beberapa warna yang dapat dipilih antara lain: Aquamarine, black, blue, navy, coral, cyan, brown, gold, green, gray, grey, khaki, magenta, maroon, orange, pink, plum, red, sienna, tan, turquoise, white, violet, wheat, yellow.

Contoh : [> Plot (3 *x^2-8,x = -5.5, color = blue) ;

2. Filled = true, false

Option ini untuk memberi warna pada daerah antara kurva grafik dengan sumbu x. Nilai dariparameter filled dapat diberi true atau false. Apabila bernilai true maka daerah antara kurvadengan sumbu x diberi warna, sedangkan apabila bernilai false maka daerahnya tidak diberi warna.

3. Labels = [string1, string2]

Perintah ini digunakan untuk memberi nama label pada sumbu x dan y . Parameter string1 danstring 2 pada perintah dapat diganti dengan suatu kata (diapit dengan tanda petik dua("). Misalnya untuk nama sumbu-x nya diberi nama dengan "nilai x" dan sumbu-y nya dengan "nilai y" maka perintahnya

Labels = ["nilai x", "nilai y"]

4. Legend = string.

Suatu grafik dapat diberi keterangan berupa legenda untuk menjelaskan makna grafik tersebut.Parameter string pada perintah diganti dengan keterangan yang menjelaskan makna suatugrafik.Sebagai contoh misalkan diberikan suatu grafik fungsi sinus dan selanjutnya akan dibuatketerangan legenda pada grafik, maka dapat ditambahkan perintah legend = "Grafik Sinus".

5. Linestyle = jenis garis.

Perintah linestyle digunakan untuk memilih bentuk garis yang membentuk kurva grafik.Beberapa pilihan bentuk garis yang dapat digunakan antara lain:

a. SOLID (berbentuk garisnya utuh).

b. DOT (berbentuk titik-titik).

c. DASH (berbentuk garis putus-putus).

d. DASHDOT (berbentuk gabungan garis putus-putus dan titik).

6. Style = S.

Perintah ini digunakan untuk mengatur tampilan grafik apakah disajikan dalam bentuk titik-titik terhubung ataukah tidak terhubung. Nilai S dapat diganti dengan LINE untuk mendapatkangrafik dengan titik terhubung, atau POINT untuk grafik dengan titik tidak terhubung.

Secara default, style dalam Maple adalah LINE.7.

7. Symbol = jenis simbol.

Option ini digunakan untuk menentukan bentuk titik pada suatu grafik. Option ini akan terlihatefeknya apabila grafik fungsinya dibuat dari sekumpulan titiktitik yang tidak kontinyu. Beberapa jenis simbol yang dapat dipilih antara lain BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, dan DIAMOND.

8. title=string.

Perintah title digunakan untuk memberi judul grafik yang akan tampak di bagian atas grafik,dengan nilai string adalah judul yang ingin dituliskan dalam bentuk string.

9. thickness=n.

Tingkat ketebalan garis suatu grafik fungsi dapat ditentukan dengan option ini. Nilai n dapatdiisi dengan bilangan antara 0 s/d 15. Semakin besar nilai n, makasemakin tebal garisnya.

10. view = [xmin..xmax, ymin..ymax].

Perintah view dapat digunakan untuk mengatur koordinat-koordinat maksimum dan minimum yang ditampilkan pada grafik. Nilai-nilai xmin, xmax, ymin dan ymax diganti dengan nilai-nilai yang diinginkan. Selain option yang telah disebutkan tersebut, masih banyak option lain yang dapat digunakan.

b. Lebih dari satu fungsi dalam satu sumbu koordinat XOY.

Syntak yang digunakan adalah plot( [f 1(x), f2(x), ... ] , x = a..b , y = c..d , color = [warna1,warna2, ... ] , style=[ style1, style2, ... ] );

f1(x), f2(x), ... : fungsi pertama, fungsi kedua, dst...

Contoh:

1. Butlah grafik fungsi untuk , dan pada interval [-1,3]. Warna fungsi pertama adalah biru dengan style garis, warna fungsi ke dua merah dengan style titik, dan fungsi ke tiga berwarna hijau dengan style patch.

> f1(x):=x^2-3; f2(x):=2*x+3; f3(x):=x^3+1;

> plot([f1(x),f2(x),f3(x)],x=-1..3,color=[blue,red,green],style=[line,point,patch]);

3. Limit.

Syntak yang digunakan adalah Limit( f(x) , x=a , arah ); dan limit( f(x) , x=a , arah );

f : formula yang akan dicari limitnya

x : variabel

a : titik limit, infinity untuk dan -infinity untuk

arah : arah limit, left (kiri), right (kanan), real, dan complex. Bersifat opsional (pilihan), jadi boleh tidak dituliskan pada baris perintah.

Contoh:

1. Carilah limit kiri dari untuk

[> Limit(1/x,x=0,left) = limit(1/x,x=0,left);

2. Carilah limit dari untuk

[> f(t):=(2*t^3+2*t+7)/(5*t^3+3*t^2+t);

[> Limit(f(t),t=infinity) = limit(f(t),t=infinity);

4. Fungsi Kontinu.

a. Uji kontinuitas.

Untuk mengetahui apakah suatu fungsi kontinu atau tidak, Maple menyediakan fasilitas iscont. Ada 3 macam, yaitu:

iscont( f(x), x=a..b);  tidak ditentukan jenis intervalnya

iscont( f(x), x=a..b,’open’);  untuk interval terbuka (a,b)

iscont( f(x), x=a..b,’closed’);  untuk interval tertutup (a,b)

Output dari Maple adalah ‘true’ jika kontinu, dan ‘false’ jika tidak kontinu.

Contoh:

[> iscont( 1/x, x=1..2 );

[> iscont( 1/x, x=-1..1 );

[> iscont( 1/x, x=0..1 );

[> iscont( 1/x, x=0..1, 'closed' );

[> iscont( 1/(x+a), x=0..1);

Output ‘Fail’ menunjukkan bahwa uji kontinuitas tidak bisa dijalankan karena fungsi yang diberikan tidak ‘fixed’ atau tidak diberikan secara pasti. Dalam contoh di atas, nilai a tidak diberikan, sedangkan nilai a menentukan hasilnya, kontinu atau tidak.

b. Mencari titik-titik diskontinu.

Jika ternyata uji kontinuitas menghasilkan jawaban ‘False’, tentu bagian yang menarik adalah untuk mengetahui dimana titik-titik diskontinunya. Syntak yang digunakan adalah discont( f, x );.

Contoh:

[> discont(1/x,x);

[> discont((x+1)/(1-x^2),x);

5. Turunan

a. Turunan Eksplisit

Syntak yang digunakan adalah Diff ( f(x) , x ); digunakan untuk membentuk turunan dari f(x) terhadap x.

Disini, turunan tergantung fungsinya, jika fungsinya adalah fungsi x maka turunannya juga terhadap x, demikian pula jika fungsinya adalah fungsi t maka turunannya juga terhadap t.

Contoh:

Akan dicari turunan dari dan

[> Diff(3*x^2+2*x,x); membentuk turunan

[> diff(3*x^2+2*x,x); mencari tutrunannya

[> Diff(sqrt(u^2+1),u);

[> diff(sqrt(u^2+1),u);

Jika salah memasukkan parameter maka hasilnya juga akan salah. Contoh:

[> Diff(x^2,t);

[> diff(x^2,t);

akan dianggap sebagai konstanta, sehingga turunannya adalah 0.

b. Turunan Implisit.

Syntak yang digunakan adalah implicitdiff( f, y , x ); .

f : fungsi implisit

y, x : variabel

Perintah diatas digunakan untuk mencari , sehingga urutan penulisan adalah y dahulu, baru kemudian x.

Jika akan dicari , tentu saja urutan penulisan harus dibalik, sehingga menjadi implicitdiff( f, x , y ); .

Perhatikan, dalam hal ini tidak ada perintah Implicitdiff (diawali dengan huruf besar).

Contoh:

1. Carilah dan dari fungsi implicit xy² + xy = 10.

[> F:=x*y^2+x*y=10; (membentuk fungsi implisit)

[> implicitdiff(F,y,x); (mencari )

[> implicitdiff(F,x,y); (mencari )

2. Carilah turunan implisit dari fungsi implicit y + cos( xy²) + 3x = 4.

[> g:=y+cos(x*y^2)+3*x=4; (membentuk fungsi implisit

[> implicitdiff(g,y,x); (mencari )

[> implicitdiff(g,x,y); (mencari )

3. Carilah dari fungsi implisit

[> H:=y^2/x^3-1=y^(3/2);

[> implicitdiff(H,y,x);

6. Nilai Ekstrim

a. Nilai Maksimum Fungsi

Sintak: maximize(expr, syarat);

Contoh:

1. Carilah nilai maksimum fungsi y = 3x³ – 2x² – 3 pada interval [0,5].

[> maximize(3*x^3-2*x^2-3, x=0..5);

Jika ingin diketahui lokasi titik maksimum, maka pada baris perintah tambahkan perintah ‘location’.

[> maximize(3*x^3-2*x^2-3, x=0..5, location);

Jadi, titik maksimum fungsi y = 3x³ – 2x² – 3 pada interval [0,5] adalah (x,y)=(5,322).

b. Nilai Minimum Fungsi

Sintak minimize(expr, syarat);

Contoh:

Carilah nilai mimimum dan titik minimum fungsi y = x² + cos x, pada interval [0,3]

[> minimize(x^2 + cos(x), x=0..3);

[> minimize(x^2 + cos(x), x=0..3,location);

Untuk syarat kadang bisa dihilangkan.

Contoh :

[> minimize(x^2-14,location);

[> maximize(x^4+x^3-x-5,location);

Sehingga akan dilakukan penghitungan pada interval (-∞,∞).

BEKERJA DENGAN PAKET

Maple sudah menyediakan bayak paket (packages) yang bisa digunakan untuk membantu komputasi kita, karena dialamnya sudah disediakan function atau perintah yang bisa langsung digunakan. Satu paket yang ditujukan untuk kalkulus adalah paket student. Secara umum, untuk memanggil paket, digunakan perintah with(nama_paket);.

> with(student);

4.1. Gradien garis.

Untuk mencari gradient atau kemiringan suatu garis, Maple menyediakan perintah dengan syntax slope( persm , y, x);

persm : persamaan

y, x : variabel

Urutan y dan x menentukan bagaimana fungsi tersebut dilihat.

slope( persm , y , x );  y = f(x)

slope( persm , x , y );  x = g(y)

Contoh:

Diberikan persaman fungsi 2y + 4 = x – 3.

[> slope(2*y+4 = x-3, x, y);

[> slope(2*y+4 = x-3, y, x);

4.2. Garis Singgung.

Untuk melihat garis singgung suatu kurva pada suatu titik, digunakan perintah showtangent (f(x), x = a);.

f(x) : fungsi

x : variabel

a : titik singgung

Contoh:

[> showtangent(x^2,x=2);

[> showtangent(x^3+x+7,x=6);

4.3. Titik Potong Kurva.

Syntak :

intercept(persm);

intercept(persm1, persm2, {x, y});

persm : persamaan

persm1, persm2 : persamaan1, persamaan2

x,y : variabel

Jika digunakan perintah yang pertama, secara default Maple akan menghitung titik potong pada sumbu Y, artinya dengan memasukkan nilai x=0.

Contoh:

[> intercept(y=x^2-4);

Hasil di atas akan sama dengan hasil berikut ini.

[> intercept(y=x^2-4,x=0);

Namun jika sekarang variabel y yang diberi nilai, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

[> intercept(y=x^2-4,y=0);

Jika x = 3, outpunya adalah

[> intercept(y=x^2-4,x=3);

atau sama saja dicari nilai y saat x = 3.

Perintah yang ke dua digunakan untuk mencari titik potong dua kurva.

Contoh:

1. Carilah titik potong kurva y = sin x dan y = cos x

[> intercept(y=sin(x),y=cos(x),{x,y});

2. Carilah titik potong kurva antara y = x³ + x dengan y = x

[> intercept(y=x^3,y=x,{x,y});

Hati-hati menggunakan perintah yang termasuk dalam paket. Beberapa perintah yang termuat dalam paket bisa digunakan tanpa memanggil paketnya terlebih dahulu, namun beberapa perintah yang lain mengharuskan untuk memanggil paketnya terlebih dahulu. Untuk perintah slope, showtangent, dan intercept, paket student harus sudah dipanggil sebelumnya. Pemanggilan paket cukup dilakukan satu kali, pada Maple versi 7 selama belum restart maka paketnya akan selalu siap. Jika kita melakukan restart maka harus dilakukan pemanggilan paket lagi.

LEBIH JAUH DENGAN MAPLE

5.1 Metode Pemecahan Masalah.

Akan dicari turunan dari , terhadap x. Permasalahan ini jika diselesaikan dalam Maple bisa kita tuliskan sebagai berikut.

[> Diff((a*x+b)/sqrt(a*x^2+b*x+c),x);

Perintah diatas adalah untuk mendefinisikan permasalahan. Kemudian kita cari penyelesaiannya.

[> diff((a*x+b)/sqrt(a*x^2+b*x+c),x);

Pada bagian f(x) kita harus menuliskan formula yang begitu panjang. Dengan semakin panjangnya formula maka kita harus lebih teliti menuliskan formula agar permasalahan yang dibentuk sesuai dengan yang kita inginkan. Dengan demikian memperbesar kemungkinan bagi kita untuk melakukan kesalahan mendefinisikan permasalahan.

Salah satu cara yang ampuh untuk memperkecil kesalahan ini adalah dengan memecah permasalahan, yaitu kita mendefinisikan satu permasalahan menjadi beberapa tahap identifikasi.

Tahap 1. Pembentukan f(x), (ingat.. gunakan tanda := )

[> f(x):=(a*x+b)/sqrt(a*x^2+b*x+c);

Tahap 2. Pendefinisian permasalahan. Karena kita sudah membentuk f(x), maka untuk selanjutnya kita tinggal memanggil namanya saja.

[> Diff(f(x),x);

Tahap 3. Menyelesaikan masalah.

[> diff(f(x),x);

Dalam hal ini, f(x) hanyalah sebuah variabel yang tentu saja namanya bisa kita ganti menurut keinginan kita, misalnya diganti dengan y, atau g(t) jika fungsinya didalam t.

5.2. Menyatukan Permasalahan dengan Penyelesaian.

Sebelumnya kita selalu mendefinisikan permasalahan, setelah itu baru kita cari penyelesaiannya dalam baris perintah yang berbeda. Tentunya kita ingin agar hasil komputasi di Maple mirip seperti pekerjaan manual kita. Misalnya suatu permasalahan kemudian kita ingin di sebelah kanan adalah langsung penyelesaiannya dengan diawali tanda sama dengan ( = ). Hal ini bisa kita lakukan di Maple, yaitu setelah kita definisikan permasalahan, berikutnya tanpa harus ganti baris perintah, langsung kita tuliskan perintah untuk mencari hasilnya dengan dipisahkan dengan tanda sama dengan ( = ).

Contoh:

Akan dicari turunan dari . Untuk definisi, kita gunakan Diff dan untuk mencari turunnanya kita gunakan diff.

[> Diff(2*x^4+3*x+7,x) = diff(2*x^4+3*x+7,x);

Mengapa tidak kita gunakan tanda titik dua sama dengan ? Ingat, tanda titik dua sama dengan digunakan untuk memberi nilai suatu variabel, jadi sebelah kiri adalah sebuah variabel. Sedangkan pada bagian ini, sebelah kiri adalah sebuah operasi Maple juga. Jadi ada dua buah operasi Maple, sehingga tidak boleh kita gunakan tanda titik dua sama dengan ( := ).

CONTOH

Notasi Sigma

Cara Menulis